Фамилия Фалинков — редкий случай, когда основа ясна, а вот суффикс сбивает с толку. Корень здесь, скорее всего, Фал- (от канонического имени Фалалей, Фалл, а в просторечии — Фаля). Но типичный суффикс принадлежности -ов дал бы Фалинков? Нет. В фамилии стоит -инк-ов, что необычно.

Если разобрать модель: Фаля → Фалин (чей? — сын Фали) → Фалинков (чей внук? или из рода Фалиных). Суффикс -инк- в русских фамилиях встречается реже, чем -ов или -ин, и часто указывает на двойную патронимию: сначала отца назвали по деду (Фалин), а потом внука — по отцу (Фалинков). То есть предка могли звать Фаля, его сына — Фалин, а внук уже получил фамилию Фалинков. Это характерно для северных и центральных регионов России, где такие цепочки держались дольше.

Само имя Фалалей (греч. Thalelaios — «цветущая маслина») в народе переделали в Фаля, Фаланя. Прозвище могло закрепиться за человеком с мягким, «цветущим» характером или, наоборот, иронично — за неуклюжим. Но Фалинков — не от прозвища «фалин» (такого слова в русском языке нет), а именно от отчества.

Географически фамилия редкая: в современных базах данных она встречается единично, в основном на западе России (Смоленская, Брянская области) и в Беларуси. Это косвенно подтверждает, что исходное имя Фалалей было популярно у православных, но не у старообрядцев, где предпочитали другие формы.

Версия о польском или украинском влиянии маловероятна: суффикс -ов типичен для великорусских фамилий, а не для западных, где чаще -ич или -ский. Так что Фалинков — чисто русская фамилия, образованная от уменьшительного Фаля через двойное патронимическое «наслоение». Её носитель — потомок человека, которого в быту звали просто Фалей или Фаля, а его сына уже записывали как Фалин.