Фамилия Фатурский — редкий случай, когда основа ясна не сразу, а суффикс указывает на географическое происхождение. Модель образования типична для польской и западнорусской традиции: суффикс -ский (-цкий) в фамилиях такого типа обычно означал «из такого-то места» или «владелец такого-то имения». То есть Фатурский — это человек, связанный с местом, которое называлось Фатуры или Фатур.

Где искать это место? Скорее всего, в западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современной Беларуси, Украины или восточной Польши. Топоним Фатуры мог возникнуть от слова «фатура» — в польских и белорусских говорах так называли вид ткани, материю, иногда — одежду. В переносном смысле «фатура» могла стать прозвищем торговца тканями или портного. Но прямее всего: предок Фатурского получил фамилию по названию деревни или хутора, где жил или которым владел.

Важно не путать с фамилией Фатуровский — в ней другой суффикс, и она могла образоваться от имени Фатур (редкая форма от Феофил или Феодор через народное переосмысление). У Фатурского же суффикс -ский жёстко привязан к месту. В польских гербовниках и списках шляхты эта фамилия не встречается, так что, скорее всего, она крестьянская или мещанская: человек переехал в город или получил фамилию по названию родной деревни при отмене крепостного права в XIX веке.

Встречаемость фамилии низкая. В современных базах данных России и Украины Фатурские единичны, что подтверждает её локальный характер. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в западных губерниях — Гродненской, Волынской или Минской. Там и сегодня можно найти деревни с похожими названиями, например Фатуры в Брестской области.