Фамилия Федяшкина образована от мужского имени Федяшка — уменьшительно-ласкательной формы крестильного имени Фёдор. Имя Фёдор (греч. Theodoros — «дар Божий») было одним из самых распространённых на Руси, поэтому и производных от него фамилий — великое множество: Фёдоров, Федькин, Федюнин, Федяев, Федяшин. Федяшкин стоит в этом ряду особняком благодаря редкому суффиксу -ашк-.

Суффикс -ашк- (как в именах Тимошка, Мишка, Ванька) в русской народной традиции придавал имени оттенок фамильярной ласки или, наоборот, пренебрежения — в зависимости от контекста. Федяшка — не официальная форма, а бытовое, внутрисемейное прозвище. В документах XVII–XVIII веков такие имена встречаются редко, но если попадаются, то чаще в среде посадских людей, крестьян и мелких служилых — у тех, кого в официальных бумагах записывали по-простому, без отчества.

Фамилия Федяшкин (а Федяшкина — её женская форма) закрепилась в основном в центральных и южнорусских губерниях. По данным переписей XIX века, носители фамилии компактно жили на территории нынешних Тамбовской, Воронежской и Рязанской областей. Это указывает на то, что предки Федяшкиных были, скорее всего, государственными или помещичьими крестьянами. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Словообразовательный разбор прост: основа Федяшк- (от Федяшка) плюс типичный притяжательный суффикс -ин, указывающий на принадлежность: «чей?» — Федяшкин, то есть сын, внук или потомок Федяшки. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от полных форм (Фёдоров), формы на -ин тяготели к именам на -а/-я, что и подтверждает народное, неофициальное происхождение фамилии.

Если ваша фамилия Федяшкина, то с большой долей вероятности ваш предок по мужской линии носил имя Федяшка — и был человеком незнатным, но со своим характером: в деревне ласковое прозвище давали не каждому.