Фамилия Фешагина — женская форма мужской фамилии Фешагин. Она образована по самой распространённой в русской ономастике модели: к основе прозвища или имени добавлялся суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?»). В данном случае Фешагин буквально означает «сын (или потомок) Фешаги». Сама же основа Фешага — неканоническое прозвище или, что вероятнее, производная форма от крестильного имени.

Разберём корень «Феш-». Скорее всего, это усечённая и переработанная в бытовой речи форма от имени Феофан (греч. Theophanes — «богоявление») или, реже, от Федосей/Феодосий (греч. Theodosios — «данный Богом»). В русских говорах сложные церковные имена часто «обрубали»: Феофан превращался в Фешан, Феша, а уж оттуда до прозвища Фешага — один шаг. Суффикс -аг-/-яг- в прозвищах (сравните: коряга, бедняга) мог придавать слову оттенок просторечия или даже ласкательности, хотя сейчас это звучит грубовато.

Версия с тюркским или финно-угорским корнем маловероятна. Фонетика фамилии типично русская, а география распространения (фамилия встречается в основном в центральных и северных областях России) указывает на исконно славянскую среду. Никаких следов «феш» как заимствованного слова в русских говорах нет.

Таким образом, Фешагин — это «сын Фешаги», а Фешага — человек, которого в деревне или в семье называли сокращённо от Феофана. Предки носительницы фамилии были, скорее всего, крестьянами или посадскими людьми, у которых прозвища были повседневным явлением. Фамилия недворянская, без приставок и сложных суффиксов — рядовая, но с живой историей внутри одного слова.