Фамилия Фешакова — женская форма от Фешаков, и её разговорный, почти «домашний» суффикс -ак- сразу выдаёт не книжное, а прозвищное происхождение. В русских фамилиях суффикс -ак (в родительном падеже -аков) часто прикреплялся к основе глагола или имени, указывая на человека по действию или характерному признаку: Гуляк, Кричак, Молчак. Фешаков, скорее всего, стоит в том же ряду.

Основа «Феш-» — это сокращённая, народная форма крестильного имени Феодосий (греч. «богом данный») или Феофан («богоявление»). В быту Феодосия могли звать Фешей, Фешкой, и от этого уличного прозвища и пошла фамилия. Менее вероятно, но возможно, что корень связан с диалектным глаголом «фешить» — в некоторых говорах так говорили о быстром, суетливом движении, о человеке, который «фешит» (мельтешит, суетится). Однако церковное имя — более надёжный источник.

Фамилия Фешаков (и Фешакова) — редкая, её нет в массовых списках распространённых русских фамилий. Это говорит о локальном бытовании: предки носителя, скорее всего, жили в одном селе или волости, где прозвище Фешак закрепилось за целым родом. Встречается она преимущественно в центральных и северных областях России — там, где суффикс -ак в фамилиях особенно активен.

Обратите внимание на окончание -ов, а не -ин: это значит, что прозвище Фешак образовано от имени, а не от отчества на -ич. То есть предок был не «сыном Феши», а самим Фешаком — человеком, которого в деревне знали под этим прозвищем. Фешакова — не дворянская, не купеческая, а крестьянская или мещанская фамилия, типичная для среды, где фамилии давали по уличному имени, а не по официальному родословию.