Фамилия Филянкина — женская форма фамилии Филянкин, и её разбор стоит начать с суффикса. В русских фамилиях суффикс -ин (а в женском роде — -ина) стандартно указывает на принадлежность: «чей?» — Филянкин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Филянка. Гораздо реже встречается суффикс -к- в основе, который здесь не уменьшительно-ласкательный (как в «Ивашка»), а скорее прозвищный, характерный для северных и вятских говоров.

Основа «Филянк-» восходит к имени Филя — просторечной форме канонического имени Филипп. В древнерусском обиходе Филя звучало фамильярно, почти как «Филиппка». Суффикс -анк- (Филянка) — редкий словообразовательный элемент, который мог означать либо обладателя какого-то качества («тот, кто похож на Филю»), либо служить для образования прозвища от имени с оттенком пренебрежения или шутки. В ономастике подобные формы (Филянка, Филюнка) фиксируются в документах XVI–XVII веков как нецерковные имена и прозвища в крестьянской среде.

Наиболее вероятная версия: прозвище Филянка дали человеку, который носил имя Филя (Филипп), но с дополнительным прозвищным суффиксом, выделявшим его среди других Филь в деревне. Например, в писцовых книгах Новгородской земли встречаются записи о крестьянах Фильке и Филянке — именно как о разных людях. Географически фамилия Филянкина тяготеет к северо-востоку России: её корни ищут в Вятской, Пермской и Костромской губерниях, где суффикс -анк- в прозвищах был особенно живуч.

Сравнение с однокоренными фамилиями даёт дополнительную картину. Филянкин стоит в одном ряду с Филькиным, Филюшкиным и Филюковым. Но если Филькин — прямо от Фильки (уменьшительного), то Филянкин — от более редкой формы, что указывает на локальную особенность прозвища. В отличие от, скажем, фамилии Филиппов, которая сразу отсылает к полному церковному имени, Филянкин — из народной, бытовой ономастики, где прозвище могло закрепиться за родом и передаваться по наследству вне зависимости от реального имени предка.

Сословно фамилия Филянкина, скорее всего, крестьянская или мещанская. Дворянских родов с таким окончанием (-ин, а не -ов) в гербовниках не зафиксировано, а суффикс -анк- в основе — верный признак простонародного происхождения. В современных телефонных справочниках и базах данных фамилия встречается редко, что подтверждает её узкорегиональный характер.

Таким образом, Филянкина — фамилия, которую носили потомки человека по прозвищу Филянка, жившего, вероятно, на севере или северо-востоке Руси. Прозвище это образовано от имени Филя (Филипп) с редким суффиксом, и сама фамилия — не столько о родстве с Филиппом, сколько о том, как в конкретной местности называли одного из многих Филь.