Фамилия Финешина — женская форма, а её мужской вариант — Финешин. Она образована по самой распространённой в русском языке модели: с помощью суффикса -ин, который указывает на принадлежность. Такой суффикс обычно присоединяли к основам, оканчивающимся на -а или -я. В данном случае основа — Финеша. Это значит, что Финешин — буквально «сын Финеши» или «человек из семьи Финеши».

Самая вероятная основа фамилии — прозвище или некалендарное имя Финеша. В русских говорах слово «финя» или «фина» могло означать хитрого, изворотливого человека, а иногда — просто пренебрежительное обращение к финну (от этнонима «финн»). Однако есть и другая, более правдоподобная версия: Финеша — это производная форма от редкого крестильного имени Финн (от латинского Finnus, что означает «финн»), либо от имени Афиноген (в народном произношении — Финя, Финеша). Афиноген — греческое имя, означающее «рождённый от Афины». В быту такие длинные имена часто сокращали до коротких и ласковых форм, которые потом и становились основами фамилий.

Фамилия Финешин — редкая. Она не встречается в списках дворянских родов и не принадлежала к известным купеческим династиям. Скорее всего, её носили крестьяне или мещане из центральных или северных губерний России, где были распространены подобные усечённые формы имён. Встречается она и сейчас, но в основном на севере европейской части России, в Вологодской и Архангельской областях, а также в Поволжье.

Таким образом, предок носителей фамилии Финешин, скорее всего, был человеком, которого в быту звали Финеша — либо по имени Афиноген, либо по прозвищу, связанному с хитростью или происхождением. Точнее сказать сложно: письменных источников по этой фамилии сохранилось мало, и любая из версий остаётся предположением.