Фамилия Финишина — женская форма, мужская соответственно Финишин. В глаза сразу бросается необычный корень. Самого слова «финиш» в русском языке в значении «окончание, конец дистанции» не было до конца XIX века, когда в обиход вошли спортивные и технические термины. Поэтому связывать фамилию с этим заимствованием — ошибка. Корень здесь другой, более древний.

В основе лежит прозвище Финиш. В северных и центральных говорах «финиш» (или «финеш») — так в старину называли хитреца, проныру, того, кто умеет ловко выкрутиться из любой ситуации. Слово образовано от диалектного глагола «финить» — хитрить, лукавить, изворачиваться. Человек с таким прозвищем, скорее всего, слыл в общине не злым, но себе на уме: умел договориться, сбыть товар с выгодой или уладить ссору в свою пользу.

Суффикс -ин указывает на стандартную модель русских фамилий, образованных от прозвищ и имён, оканчивающихся на согласный. Финишин — буквально «сын Финиша» или «человек из рода Финиша». Фамилия редкая, встречается в основном в Вологодской, Архангельской областях и на Урале — там, где сохранились древние севернорусские говоры. Встречаются варианты написания с одной «н» — Финишин, но это скорее описка в метриках XIX века.

Сравните с однокоренными фамилиями: Финишев, Финишов — они образованы по той же модели, но с другими суффиксами, что говорит о разных говорах и времени фиксации. Прозвище Финиш не стоит путать с именем Филипп или его уменьшительной формой Финя — это разные корни. Если ваш предок носил фамилию Финишин, скорее всего, он был крестьянином или посадским человеком, которого в деревне знали как ловкого и сметливого мужика.