Фамилия Финкбайнер — явный случай немецкого происхождения, причём составная, двухкорневая. Она не вписывается в славянскую модель образования на -ов или -ин, а значит, её носители — потомки немецких колонистов или выходцев из германоязычных земель, которые оказались в Российской империи в XVIII–XIX веках.

Разберём её по частям. Первая основа — «Финк» (Fink). По-немецки это «зяблик», певчая птица. В немецкой ономастике прозвище Финк давали либо человеку с весёлым, звонким голосом, либо тому, кто любил петь, либо, реже, — за внешнее сходство с птицей (например, за пёструю одежду). Вторая часть — «байнер» (Bainer). Это сложнее. Скорее всего, это вариант фамилии Bainer или Beiner, которая восходит к слову «Bein» — «нога». Тогда Байнер — либо человек с длинными или кривыми ногами (прозвище по физической особенности), либо, что вероятнее, тот, кто делал ножки для мебели или деревянные протезы (ремесленное прозвище). В южнонемецких диалектах «Bein» могло означать и «кость» — тогда Байнер мог быть косторезом.

Таким образом, Финкбайнер — это сложение двух прозвищ в одну фамилию. Подобные сдвоенные немецкие фамилии (типа Шварцкопф, Вайсгербер) часто возникали, когда у человека было два устойчивых уличных прозвания или когда при переезде в новый город к старому прозвищу добавляли новое для уточнения. В случае Финкбайнера это мог быть «зяблик с длинными ногами» (ироничное прозвище) или «певец-косторез» (по двум занятиям).

Географически фамилия редкая. Встречается в Германии, но гораздо чаще — у потомков немецких колонистов в Поволжье, на Украине и в Причерноморье. В России и странах бывшего СССР она могла исказиться при записи: встречаются варианты Финкбейнер, Финкбайнер, а иногда и просто Финк — из-за отбрасывания второй части при русификации. Социально носители этой фамилии — скорее всего, ремесленники или крестьяне, а не дворяне: немецкие бароны и графы носили однословные или причастные к владениям фамилии (фон Финкенштейн), а составные прозвищные фамилии — удел простых людей.

Единственное, чего мы не знаем наверняка: было ли это прозвище дано одному человеку или срослось из фамилий двух предков. Но в любом случае, Финкбайнер — яркий пример немецкой антропонимии, где за основой стоит живая деталь: птица, нога, ремесло.