Мужское крестильное имя Афиноген в переводе с греческого означает «потомок Афины». В основу фамилии легла уменьшительная форма имени, которая звучит как Финошка. Скорее всего, основатель рода Финошкиных был выходцем из рабочей или крестьянской среды.