Фамилия Флегматов — редкая и интригующая. Скорее всего, она происходит от прозвища или мирского имени Флегмат, которое, в свою очередь, восходит к слову «флегма». В старину, в эпоху господства гуморальной теории медицины (учения о четырёх жидкостях тела), флегмой называли одну из них — холодную и влажную. Соответственно, «флегматиком» величали человека медлительного, спокойного, невозмутимого, с преобладанием этой «жидкости» в организме. Таким образом, Флегматов — это потомок человека, которого окружающие прозвали Флегматом за его характер.

Разберём словообразовательную модель. Суффикс -ов (в форме Флегматов) — это типичный русский патронимический суффикс, указывающий на принадлежность: «чей?» — «Флегматов сын». То есть фамилия была построена по простой и распространённой схеме: от прозвища Флегмат через притяжательное прилагательное. Важно, что в основе лежит именно разговорное, бытовое переосмысление книжного термина. В народной среде «флегма» могла означать и «мокроту», «слизь», а «флегматик» — человека, склонного к болезням или с «тяжёлым» дыханием, но основное значение всё же связано с темпераментом.

Интересная деталь: фамилия Флегматов стоит в ряду однокоренных, но более редких вариантов — Флегматов, Флегматович, а также могла возникнуть фамилия Флегманов. Если бы прозвище звучало как Флегма, а не Флегмат, появился бы вариант Флегмин. Наличие именно формы на -ат (Флегмат) указывает на то, что прозвище, скорее всего, было образовано по модели, характерной для церковнославянских или книжных заимствований (сравните: «дипломат», «аристократ»), но применённой к бытовому слову. Это делает фамилию уникальной — она как бы соединяет народное прозвище с учёным, медицинским контекстом.

Географию фамилии проследить трудно из-за её редкости. Встречается она в основном в центральной России и Поволжье, но массового распространения не получила. Сословно предки Флегматовых могли быть и крестьянами, и мещанами, и духовенством — в среде последних такие «говорящие» фамилии (от латинских или греческих терминов) встречались чаще, но в данном случае основа слишком бытовая. Скорее всего, это прозвище дали в деревенской или посадской среде человеку с флегматичным нравом, и оно закрепилось как фамилия.

Не стоит путать эту фамилию с созвучной Флегмановой (от «флегмана» — человека с избытком флегмы) или с искусственными семинарскими фамилиями вроде Флегматин. Флегматов — это именно русская, народная по происхождению фамилия, за которой стоит живое прозвище, а не канцелярская выдумка.