Фамилия Флгягина — стечение согласных, которое режет глаз и ломает язык. Но за этим нагромождением букв скрывается прозвище из народной речи, а не иностранный корень. Основа — глагол «флягать» или «флягнуть», который в русских говорах означал «ударить», «лягнуть», «дать пинка». Отсюда же — «фляга» как нога (сравните: «ляга» и «лягать»). Человек, которого прозвали Флягой или Флягой, мог получить это имя за привычку пинаться, за резкие движения или за драчливый нрав.

Модель образования фамилии — суффикс -ин, который в русской ономастике указывает на принадлежность: «чей сын?» — Флгягин, то есть сын Флгяги (или Фляги). Со временем слово обросло дополнительной согласной «г» — Флгягин, хотя исходная форма, скорее всего, была Флягин. Такое «наращение» встречается в фамилиях, записанных на слух: диалектное произношение «фляг» с твёрдым «г» дало на письме странный для современного уха вариант.

Фамилия редкая и локальная. Встречается преимущественно в северных и центральных областях России, где сохранились архаичные говоры. В дореволюционных переписях её носители — крестьяне и мещане, реже — однодворцы. Связи с дворянскими родами нет: фамилия явно народная, прозвищная, без книжных или церковных корней.

Сравните с однокоренными: Флягин, Флягинский, Флягушкин. Все они восходят к тому же глаголу, но вариант Флгягин — самый неудобный для произношения, что и делает его уникальным. По сути, это «говорящая» фамилия: предок носителя был человеком с крутым нравом, которого боялись или над которым посмеивались за манеру лягаться.