Фамилия Флкенберг — редкий случай, когда написание опережает звучание. В ней сразу бросается в глаза неудобный для русского языка стык согласных «лк», что почти наверняка указывает на немецкое или еврейское (ашкеназское) происхождение. Это не переделка на русской почве, а заимствование в исходной форме.

Разбираем основу. «Флкен» — искажённое или диалектное написание немецкого «Falken» (сокол). Вторая часть «берг» (Berg) означает «гора». В сумме получаем «Соколиная гора» — типичная немецкая топонимическая фамилия, образованная от названия места. Такие фамилии в Германии давали человеку, который жил у горы, где водились соколы, или в поселении с таким названием. В немецком языке есть и реальные топонимы вроде Falkenberg, которых в Германии, Австрии и Польше несколько десятков.

Но почему не «Фалькенберг», а «Флкенберг»? Тут возможны два объяснения. Первое — редукция гласного в быстрой речи или при записи фамилии чиновником, который не был носителем немецкого. Второе — фамилия могла принадлежать еврейской семье, получившей её при переходе на фамилии в Австро-Венгрии или Пруссии в конце XVIII — начале XIX века. В записях того времени встречаются варианты вроде Falkenberg, Folkenberg и Flakenberg, и написание могло закрепиться с ошибкой.

Модель образования здесь — чисто немецкая: сложение двух корней без суффикса. Никакого славянского окончания (-ов, -ин, -ский) в фамилии нет, что говорит о том, что носители не ассимилировались в русской среде через изменение фамилии, а сохранили исходный вариант. В России такая фамилия встречается крайне редко, в основном у потомков немецких колонистов или еврейских переселенцев. Никакого отношения к славянским прозвищам или именам она не имеет — это стопроцентный западноевропейский топоним, записанный с характерным для канцелярской практики искажением.