Фамилия Флячинская — женская форма от Флячинский, и её разумнее всего начинать разбирать с суффикса. Окончание -ский указывает на типичную модель образования польских, белорусских, украинских и западнорусских дворянских или шляхетских фамилий. Такая фамилия чаще всего означала принадлежность к местности: «из Флячина» или «из Флячино». Если предположить, что существовало селение Флячино или Флячин, то носитель фамилии — либо выходец оттуда, либо владелец этих земель.

Основа «Фляч-» — спорная и редкая. В русском языке «фляга» известна, «фляк» (гимнастический элемент) — заимствование, но прямой связи с ними нет. Вероятнее всего, корень восходит к диалектному или иноязычному прозвищу. В польском языке есть слово «flaczki» — требуха, а также «flak» — кишка, но для прозвища это маловероятно из-за уничижительного оттенка. Более правдоподобна версия от немецкого «Flasche» (бутылка, фляга) через прозвище бондаря или торговца, но суффикс -ин-/-ын- в основе «Флячин» тут не прослеживается — скорее, это топонимический след.

Сравнение с фамилиями Флягин, Флягинский даёт ключ. Флягин образован от «фляга» напрямую, а Флячинский — от названия места, которое, в свою очередь, могло произойти от прозвища первого поселенца Фляга (человек с флягой, любитель выпить или торговец). То есть цепочка такая: прозвище Фляга → село Флягино (или Флячино) → фамилия Флячинский. В этом случае предок был не ремесленником, а помещиком или крестьянином, получившим фамилию по месту жительства.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных базах данных Флячинские фиксируются в основном на западе России и в Беларуси, что подтверждает западнорусское или польское происхождение. Никаких сведений о знаменитых носителях нет — фамилия редкая, не попавшая в дворянские родословные книги. Сословно, скорее всего, это мелкопоместная шляхта или крестьянство, получившее фамилию при переписях XIX века по названию хутора или деревни.

Итог простой: Флячинская — фамилия географическая, от названия населённого пункта с корнем «фляч-». Точное значение этого корня сегодня восстановить трудно, но он явно связан с бытовым прозвищем или заимствованием.