Фамилия Флячинский звучит как типичная польская или западнорусская фамилия на -ский, но её корень неочевиден. В отличие от множества фамилий, образованных от названий профессий (Кузнецов, Мельников) или крестильных имён (Иванов, Петров), Флячинский явно отсылает к конкретному предмету — «фляге».

Основа «фляг(а)» в данном случае, скорее всего, не фамильярное прозвище пьяницы или бражника, как можно подумать. В старину флягой называли не только дорожную посуду для воды или вина, но и особый вид сосуда для хранения жидкостей, в том числе в ремесленном деле. Более вероятно, что прозвище Фляга дали человеку, который делал фляги, торговал ими или постоянно носил с собой. Однако есть и другая, более изящная версия: фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта вроде Флягино или Флягин, а суффикс -ский указывает на принадлежность к этому месту. Такие топонимические фамилии (по названию деревни, где жил предок) были особенно распространены среди польской шляхты и русского духовенства.

Суффикс -инский (-ынский) в фамилии Флячинский — характерный признак польского происхождения. В русском языке чаще встречается форма Флягин (от «фляга» + -ин). Флячинский — это уже «испорченная» или облагороженная версия, когда к основе Фляг- добавили шляхетский суффикс -ский, а корень изменили под влиянием произношения: «г» перешло в «ч» (Флягин → Флячинский). Так часто поступали при получении дворянства или при переходе из крестьянского сословия в мещанское: хотели, чтобы фамилия звучала «по-благородному».

Поэтому, если ваши предки носили фамилию Флячинский, они могли быть выходцами из польских земель (или западных губерний Российской империи), где жили в деревне с похожим названием. Либо их родоначальник был ремесленником-фляжником, но потомки решили «улучшить» фамилию, добавив шляхетский суффикс. В любом случае, фамилия редкая и не имеет отношения к громким дворянским родам — скорее, это история простого человека, чей быт или место жительства закрепились в родовом имени.