Фамилия Фонкос — редкий случай, когда написание прямо указывает на географию и социальный слой. Судя по окончанию -ос, перед нами не русская, а греческая или южнославянская фамилия, попавшая в русский контекст через иммиграцию или через греческое духовенство в Российской империи. Сама основа Фонк- почти наверняка восходит к греческому φωνή (фони) — «голос, звук». В греческом языке φωνή — одно из ключевых слов, от него образованы и «фонетика», и «телефон». Фамилия Фонкос, скорее всего, произошла от прозвища певчего, звонаря или просто человека с громким, звонким голосом.

Суффикс -ос — типичный для новогреческих фамилий (сравните: Папандреу, Миконос, Каподистрия). В русской среде такие фамилии не склонялись и воспринимались как иноязычные. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые маркировали принадлежность к роду (чей? — Иванов), греческая модель на -ос просто фиксировала прозвище как таковое. Поэтому говорить о «русском крестьянском» происхождении Фонкос не приходится: носители этой фамилии в Российской империи — это, скорее всего, греческие купцы, преподаватели греческого языка в духовных семинариях или выходцы из греческих колоний Причерноморья (Одесса, Таганрог, Мариуполь).

Есть и менее вероятная, но возможная версия: фамилия могла возникнуть на западноукраинских или польских землях как искажение немецкой фамилии Funk (Функ) — «искра, огонёк». В польском языке звук [f] мог перейти в [ф], а окончание -ос появиться под влиянием местных говоров. Но эта гипотеза слабая: для польских фамилий типичнее суффикс -ский или -ович, а -ос встречается редко и почти всегда указывает на греческое влияние.

В любом случае, фамилия Фонкос — не массовая, а штучная. Её носители в России — это, как правило, потомки греческих переселенцев XVIII–XIX веков, а не коренного славянского населения. Если вы встретили эту фамилию в современных российских документах, велика вероятность, что её корни уходят в греческие диаспоры Новороссии или в среду греческого духовенства.