Фамилия Фридмаи — это, скорее всего, видоизменённый вариант распространённой немецкой или еврейской фамилии Фридман. Исходное прозвище сложилось из двух немецких корней: frieden, то есть «мир», и mann — «человек». Поэтому дословно фамилию можно перевести как «мирный человек». Такое прозвище в немецкоязычной среде давали человеку спокойному, неконфликтному, либо тому, кто выступал миротворцем в спорах.

Написание «Фридмаи» вместо привычного «Фридман» — редкий случай, и объясняется он, вероятно, особенностями записи фамилии в документах. При переезде носителей фамилии в Российскую империю или СССР писарь мог по-своему услышать и зафиксировать конечное сочетание звуков, заменив «н» на «и». Такая замена встречается при передаче фамилий с идиша или немецкого через посредство польского, украинского или белорусского языка, где конечный носовой звук редуцировался. В результате возникла форма, которая выглядит как окончание множественного числа, но по сути осталась той же фамилией с тем же значением.

Сам корень фамилии — интернациональный. Варианты Фридман, Фридманн, Фридманс встречаются у евреев-ашкеназов и у немцев. У первых фамилия часто была искусственной, «украшающей»: её давали при получении обязательных фамилий в Австрийской империи и Пруссии в конце XVIII — начале XIX века. У вторых она могла быть наследственной ещё со Средневековья, обозначая человека, жившего в мире с соседями или носившего имя Фридман как личное. В любом случае, смысл один — мирный человек.

Отдельной истории у формы «Фридмаи» как самостоятельной фамилии нет: это не отдельный род, а ответвление той же семьи Фридман, чья фамилия изменилась при записи. Поэтому, если вы ищете свои корни, стоит рассматривать обе формы как взаимозаменяемые и искать предков по варианту «Фридман» в метрических книгах, ревизских сказках и списках переселенцев. Написание «Фридмаи» может оказаться ключом к конкретному региону: например, в документах юго-западных губерний России и в польских записях конечное «н» часто искажалось именно так.