Фамилия Фыркикики звучит настолько необычно, что сразу вызывает подозрение: а не шутка ли это? С высокой вероятностью, перед нами искусственное или случайное образование, а не фамилия, сложившаяся естественным путём в русской ономастике. Ни в одном серьёзном словаре русских фамилий (Унбегауна, Никонова, Веселовского) подобной формы нет, и это главный аргумент.

Если всё же попытаться разобрать её как реальную, придётся признать, что она ломает все привычные словообразовательные модели. В русских фамилиях почти не встречаются повторы слогов «ки» трижды подряд. Суффикс -ик- обычно указывает на принадлежность («чей?» — Фыркин сын), но здесь основа «Фырк» обрастает цепочкой «икики», что для живого языка нетипично. Фамилии на -их/-ых (типа Фырких) встречаются на Русском Севере, но Фыркикики к ним не относится.

Можно лишь гадательно предположить, что в основе лежит звукоподражательное «фырк» — от фырканья, недовольного сопения. Если бы фамилия существовала, её носитель мог получить прозвище Фырка за привычку фыркать или за ворчливый нрав. Но даже при таком раскладе естественная эволюция дала бы Фыркина, Фыркова или Фыркиных, а не повторяющийся «кикики».

Скорее всего, перед нами псевдоним, литературный вымысел или результат искажения при переписи. В некоторых регионах при записи фамилий по слуху писцы могли создать курьёзную форму, но тройное повторение слога — слишком редкий случай, чтобы считать его исторически достоверным. Если вы ищете подлинную фамилию своих предков, стоит проверить документы: возможно, исходный вариант был другим и сильно исказился при передаче из поколения в поколение.