Фамилия Гагошашвили с большой вероятностью восходит к имени Гагош. В его основе лежит шумерское слово «гогош», которое означало «дитя, дающий жизнь роду». Такая этимология нечаста для грузинских фамилий, но она указывает на очень древний пласт — имя могло быть связано с культом плодородия или родовой преемственности.

Есть и другая версия, хотя она менее правдоподобна. Согласно ей, Гагош — это вариант мужского грузинского имени Гоча («мягкосердечный») или женского имени Гогуца («маленькая девочка»). В таком случае фамилия могла возникнуть как уменьшительно-ласкательное прозвище, которое со временем закрепилось за родом.

Сама фамилия образована по типичной грузинской модели с помощью суффикса -швили, что значит «сын» или «потомок». В прошлом этот суффикс чаще всего присоединяли к личным именам или прозвищам, указывая на прямую родственную связь. Таким образом, Гагошашвили — буквально «сын Гагоша».

Фамилия географически привязана к восточной Грузии — регионам Кахетии и Картли, где формант -швили особенно распространён. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или ремесленной среды, так как грузинские дворянские роды чаще носили фамилии на -дзе или -иани.