Фамилия Гагошвили — грузинская, и её разбор начинается не с корня, а с суффикса. Окончание -швили — один из самых распространённых грузинских патронимических формантов, означающий «ребёнок» или «потомок». В переводе с грузинского «швили» — «сын». Таким образом, Гагошвили — это «сын Гаго». В отличие от фамилий на -дзе, которые чаще встречаются в западной Грузии (Имеретия, Гурия), фамилии на -швили типичны для восточной и центральной частей страны, особенно для Кахетии и Картли.

Основа «Гаго» — это краткая или ласкательная форма от личного имени. Вероятнее всего, от имени Георгий, которое в грузинском языке имеет множество народных вариантов: Гиорги, Гиго, Гога, Гаг. Гаго — один из таких сокращённых вариантов, закрепившийся в быту. Реже основой могло стать прозвище, связанное с грузинским словом «гага» — так называют ворону или галку. В таком случае фамилия могла указывать на внешность (тёмные волосы, смуглость) или на особенности характера — крикливость, суетливость. Однако версия с именем Георгий выглядит убедительнее: в Грузии это имя чрезвычайно популярно, и производные от него фамилии встречаются повсеместно.

Словообразовательная модель проста: личное имя Гаго + патронимический суффикс -швили. Фамилия не содержит указания на сословие или профессию — она указывает на родство, на принадлежность к определённому роду, ведущему начало от человека по имени Гаго. В дореволюционной Грузии такие фамилии носили и крестьяне, и князья, так что по одной фамилии социальный статус предков определить нельзя.

Географически Гагошвили — не самая редкая фамилия, но и не массовая. Основной ареал — восточная Грузия, особенно Кахетия. В Грузии фамилия сохранилась в нескольких сёлах, а за её пределами встречается в среде грузинских диаспор — в России, Турции, странах Европы. В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине: «к Гагошвили», «у Гагошвили». Женский вариант тоже не склоняется, но в грузинской традиции фамилия не меняет форму в зависимости от пола носителя.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Гагонидзе, Гагуа, Гагулия — показывает, что все они восходят к той же основе Гаго, но с разными суффиксами, характерными для разных регионов Грузии. Гагошвили — восточный вариант, в то время как Гагонидзе — западный.