Фамилия Гаилюс — редкая для России, и её происхождение напрямую связано с литовским или жемайтским языковым ареалом. Это не славянская фамилия, а литуанизированная форма, что сразу выделяет её из ряда типичных русских фамилий на -ов, -ев или -ин. В основе лежит личное имя Гайлюс (лит. Gailius), которое происходит от литовского слова gailus — «жалостливый», «сострадательный» или, в более архаичном значении, «острый», «жалящий» (ср. gailas — «жало», «остриё»). Таким образом, прозвище могло характеризовать человека либо по мягкому, участливому характеру, либо, наоборот, по колкому, язвительному нраву — двойственность, типичная для балтийской антропонимии.

Фамилия образована по типичной для Литвы модели: основа Gail- + суффикс -ius, который в литовском языке образует фамилии от личных имён и прозвищ (ср. Буткус, Казлаускас, Паулаускас). В русской передаче окончание -ус часто сохраняется, но в бытовой речи могло адаптироваться до Гаилев или Гаилов. Если ваш предок нёс фамилию Гаилюс, он почти наверняка происходил из территории исторической Литвы или Жемайтии — современные Литва, запад Беларуси, реже восток Польши. В Российской империи такие фамилии чаще всего фиксировались у крестьян и мелкой шляхты, особенно в Ковенской и Виленской губерниях, где литовский язык оставался основным.

Словообразовательный разбор показывает, что это не отчество (нет русского патронимического суффикса), а застывшая форма прозвища или имени. Встречаются варианты написания: Гайлюс, Гаилюс, Гайлюс — с буквой «й» или без неё, что зависело от грамотности писаря и местной традиции. В польских записях фамилия могла выглядеть как Gajlus или Gajlusz.

С точки зрения географии, фамилия Гаилюс сегодня встречается крайне редко, преимущественно в Литве и среди литовской диаспоры. В России она почти исчезла — носители либо ассимилировались, поменяв окончание на русский лад, либо сохранились в единичных случаях у потомков литовцев, переселившихся в Сибирь или на Дальний Восток в XIX–XX веках. Интересно, что в польской ономастике фамилия Gajlus также известна, но связывается с польским gaj («роща») — однако это вторичная народная этимология; балтийский корень надёжнее.

Если ваш предок носил эту фамилию, он скорее всего был крестьянином или ремесленником из западных губерний, говорившим на литовском диалекте. Переход к русскому языку в документах происходил через польское посредничество, что объясняет необычное для русского уха окончание.