Фамилия Гаимодеева — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а сложное составное прозвище, за которым скорее всего стоит тюркское или арабо-персидское влияние. Разбирать её удобнее с конца: суффикс -еев указывает на русскую патронимическую модель (чьи? — Гаимодеевы), а вот корень явно иноязычный.

Скорее всего, перед нами сращение двух слов: «Гаим» (вариант «Гаим») и «Дей» или «Дий». В тюркских языках «Гаим» (Gayim) может означать «постоянный», «твердый», «вечный», а в арабском через ислам — «восставший» или «существующий» (аль-Каим). Вторая часть, «Дей», — распространенный компонент восточных имен, означающий «дядя по матери», «воспитатель» или даже «богатырь» (в османском контексте). То есть прозвище Гаимодей могло означать «твердый опекун» или «постоянный защитник», а фамилия по отцу закрепилась как Гаимодеев.

Географически фамилия почти наверняка происходит из регионов, где русское население долго и плотно контактировало с тюрками: Поволжье (бывшее Казанское ханство), южное Приуралье или Северный Кавказ. Встречаемость фамилии крайне низкая — в современных телефонных справочниках и базах она исчисляется единицами, что типично для прозвищ, не превратившихся в массовые родовые имена.

Интересная деталь: написание через «ее» (-еев вместо -ев) — не ошибка, а архаичная или диалектная черта. В старых документах фамилии на -ей часто давали форму притяжательного прилагательного: «чей? — Гаимодеев», но в некоторых говорах или при записи в метриках писали «Гаимодеевъ», что на слух дало двойное «е». Такая орфография — дополнительный ключ к возрасту фамилии: она могла оформиться не в XIX веке, а раньше, в XVI–XVII, когда правила записи ещё не устоялись.

Других версий, например, от финно-угорских корней или от русского «гай» (роща), почти нет — слишком специфичен звуковой ряд. Перед нами яркий пример того, как в русской фамилии сохранился отголосок восточного прозвища, которое предок носил, скорее всего, за характер или род занятий, а не за знатное происхождение.