Фамилия Галинскай — редкий случай, когда написание подсказывает больше, чем звучание. Окончание -ай вместо привычного -ий или -ый сразу выдает западнославянское, скорее всего польское, происхождение. В польском языке фамилия звучала бы как Galiński, а в русской записи XIX века, когда чиновники часто передавали польские фамилии на слух, окончание -ski превратилось в -скай. Так что ваш предок, вероятно, был поляком или белорусом из католических земель, перебравшимся в Российскую империю.

Основа фамилии — Галин — восходит либо к имени Гала (уменьшительное от Галактион, что значит «молочный»), либо к названию местности. Второй вариант правдоподобнее: в Польше есть несколько деревень с названием Галин (например, в Мазовецком воеводстве). Фамилии на -ский традиционно указывали на владельца поместья или выходца из такого села. То есть предок мог быть шляхтичем, владевшим имением Галин, или просто крестьянином, которого записали по месту жительства.

Обратите внимание: в отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые образуются от отчества отца, польская модель на -ский — территориальная. Поэтому искать корень в личном имени Галя (от Галина) ошибочно: женские имена редко становятся основой для фамилий у мужчин. Если бы фамилия была Галинский (с мягким знаком), она могла бы быть и русской, от прозвища Галина, но твердое окончание -скай — маркер именно польской адаптации.

В современной России фамилия встречается в единичных случаях, в основном на западе страны и в Сибири, куда ссылали участников польских восстаний. Если ваш Галинскай жил в Томской или Иркутской области, почти наверняка он потомок сосланного шляхтича. Фамилия не получила широкого распространения, поэтому каждый ее носитель — носитель довольно конкретной семейной истории, уходящей корнями в Речь Посполитую.