Фамилия Гамзутова — редкий пример, где вопросов больше, чем ответов. Прежде всего бросается в глаза окончание -ова, указывающее на женскую форму. Мужской вариант — Гамзутов. Сама фамилия явно не русская по корню, а тюркская или кавказская по происхождению, что сразу сужает круг поисков.

Скорее всего, в основе лежит личное имя или прозвище Гамзут. Это имя могло восходить к арабскому «хамза» (острота, жгучесть) или к тюркскому «гамза» (намёк, кокетство, взгляд). В тюркских языках, особенно у народов Северного Кавказа (кумыки, ногайцы, балкарцы), имя Гамзат и его варианты (Гамзут) встречаются. Суффикс -ут в этом контексте — либо диалектное окончание, либо уменьшительно-ласкательная форма. Фамилия образована по русской модели притяжательных прилагательных: «чей?» — Гамзутов, то есть сын Гамзута.

Географически фамилия тяготеет к Дагестану и соседним регионам. Встречается она и у осетин, и у чеченцев, но чаще всего её носители — кумыки. Кумыкский язык входит в тюркскую группу, и модель образования фамилий на -ов/-ев там стандартная, перенятая от русских при советской паспортизации. Если предки были из горного Дагестана, фамилия могла писаться иначе (Гамзатов), но вариант с «у» — Гамзутов — указывает на местный говор, где гласные могли редуцироваться.

Интересная деталь: фамилия Гамзутова не встречается в старых дворянских родословных книгах Российской империи. Это говорит о том, что её носители были, скорее всего, из крестьянского или ремесленного сословия, а не из знати. В советское время фамилия не получила широкой известности, поэтому найти много однофамильцев за пределами Кавказа сложно. Если вы ищете корни, стоит проверить записи в ЗАГСах Хасавюртовского, Буйнакского или Казбековского районов Дагестана — там вероятность найти упоминания выше всего.