Фамилия Гапковкий — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено. Скорее всего, правильная, историческая форма — Гапковский. Ошибка «Гапковкий» вместо «Гапковский» возникает из-за беглого произношения: суффикс -ск- в фамилии на -ский часто «съедается» в речи, и на письме это закрепляется. Поэтому разбирать логичнее исходный вариант — Гапковский.

Эта фамилия образована по стандартной модели польско-украинской и белорусской ономастики: топоним (название места) + суффикс -ский/-цкий. Такие фамилии указывали на владельческое или родовое поместье, либо на место, откуда человек родом. Основа здесь — Гапково или Гапков. Это название могло произойти от прозвища или имени Гапко. В свою очередь, Гапко — это уменьшительная форма от канонического имени Агапий (от греч. agapē — любовь) или Агафон (добрый, благой). В украинской и белорусской традиции начальное «А» часто отпадало, превращая Агапко в Гапко. Получается цепочка: Агапий → Гапко → Гапков (сын или принадлежащий Гапку) → Гапковский (выходец из имения Гапковых).

Географически фамилия тяготеет к западнорусским землям: современные Беларусь, Украина, западные области России (Смоленщина, Брянщина). Носитель фамилии Гапковский — это, скорее всего, потомок мелкого шляхтича или крестьянина, который получил фамилию по названию хутора или деревни Гапково. Такие деревни действительно существовали на территории бывшей Речи Посполитой.

Вариант с конечным -ий (Гапковкий) вместо -ский — орфографический курьёз, который мог закрепиться в советских паспортных столах при записи со слов. Если вы носитель именно такого написания, то ваша фамилия — живое свидетельство того, как устная речь влияет на документы. По сути, это та же самая фамилия, но в чуть более «опрощенном» виде.