Фамилия Гашам — редкий случай, когда основа не встраивается в привычные славянские модели прозвищ или крестильных имён. Чтобы понять её происхождение, нужно смотреть не на суффикс, а на корень, который звучит нерусским.

Самый вероятный источник — тюркские языки. В них слово «гашам» (или «кашам») могло означать «сварливый», «вздорный», «скандальный» человек. В диалектах карачаево-балкарского и кумыкского языков встречается корень «гаш» со значением «ссора», «брань». Прозвище Гашам могли дать неуживчивому, острому на язык соседу. Такие прозвища в среде татар, башкир или народов Кавказа нередко становились фамилиями без дополнительных суффиксов — просто закреплялись в форме мужского имени или прозвища.

Вторая версия, менее распространённая, выводит фамилию из арабского корня «хашам» — «дробить», «крошить». В таком случае прозвище могло относиться к ремесленнику, работающему с камнем или зерном (камнедробильщик, мельник). Но это предположение слабее: в русской ономастике арабские корни без посредничества тюркского или кавказского языков встречаются редко и почти всегда через исламскую культуру Поволжья или Кавказа.

Обратите внимание на окончание. Фамилия не имеет русского суффикса -ов/-ев, -ин или -ский, что говорит о её относительно позднем письменном закреплении. Скорее всего, она фиксировалась в метриках и переписях уже в XIX веке в среде мусульманских народов Российской империи. Географически фамилия встречается в Дагестане, Чечне, а также среди астраханских и крымских татар — именно там тюркские прозвища без изменений переходили в фамилии.

В русском языке фамилия склоняется по мужскому роду: Гашам, Гашама, Гашаму. Женский вариант не склоняется. Носителей мало, фамилия не входит в списки распространённых даже в регионах Северного Кавказа. Если вы встретили Гашама за пределами этих мест, вероятнее всего, предки мигрировали в центральную Россию или на Украину в советское время.