Фамилия Гавшикова — женская форма фамилии Гавшиков, и её основа — мужское личное имя или прозвище Гавша. Это имя — уменьшительная форма от крестильного имени Гавриил, которое в русской народной традиции сокращалось до Гавша (как Иваша от Иван, Петруша от Пётр). Суффикс -ша указывает на ласкательное или бытовое обращение, характерное для северных и центральных говоров.

Фамилия образована по стандартной модели: к основе Гавш- добавили суффикс -ик (Гавшик — «маленький Гавша» или «сын Гавши»), а затем патронимический суффикс -ов. Таким образом, Гавшиков буквально означает «потомок Гавшика». Встречается и более редкий вариант без суффикса -ик — фамилия Гавшов, но Гавшиков распространён шире.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России: её фиксируют в старых переписях Новгородской и Вологодской губерний. В этих краях имя Гавша было особенно популярно в XVI–XVII веках, что подтверждается актами того времени (например, в новгородских писцовых книгах упоминаются крестьяне Гавши). Сословно носители фамилии относились в основном к крестьянству и посадским людям — дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Ударение в фамилии плавающее: в разговорной речи чаще ставят на второй слог (Гавшикова), но в официальных документах нередко фиксируют ударение на первый (Гавшикова). Оба варианта допустимы, хотя первый ближе к историческому произношению исходного имени.