Фамилия Гавшиков — наглядный пример того, как прозвище, данное одному человеку, становится наследственным именем для целого рода. Её основа — Гавша — это не каноническое имя, а производная, усечённая форма от крестильного имени Гавриил. В русской народной традиции длинные библейские имена часто «обрубали» до короткого и удобного в быту: Гаврила, Гавша, Гавшун. Соответственно, Гавшиков буквально означает «сын Гавши», то есть потомок человека, которого в обиходе звали Гавшей.

Словообразовательная модель здесь классическая для русских фамилий: суффикс -ов присоединяется к основе, оканчивающейся на твёрдый согласный. Если бы прозвище звучало как Гавша, а его обладатель был бы, скажем, попом или дьяком, фамилия могла бы принять форму Гавшин. Но Гавшиков — это вариант с дополнительным суффиксом -ик, что характерно для уменьшительно-ласкательных или уничижительных форм имени (ср. Васька — Васькин, но Васьков). В данном случае Гавшик — это ещё один шаг «сжатия»: от Гаврила к Гавша, от Гавша к Гавшик. Таким образом, перед нами трёхступенчатая трансформация: Гавриил → Гавша → Гавшик → Гавшиков.

Географически фамилия редкая. По данным переписей и телефонных справочников, основные очаги её бытования — южные регионы России (Ростовская область, Краснодарский край) и Украина (особенно Харьковщина). Это не случайно: южнорусские говоры склонны к аканию и упрощению имён, что и дало форму Гавша вместо северного Гаврила. Встречается фамилия и в Сибири, но единично — вероятно, результат переселенческих волн XIX века.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» Гавшиков не упоминается, что подтверждает её локальный и не слишком древний характер. Скорее всего, она оформилась не раньше XVII–XVIII веков, когда фамилии активно закреплялись за крестьянством. Социальное происхождение носителей — в основном крестьяне и однодворцы, то есть свободные землепашцы южных окраин. Никаких дворянских родов с такой фамилией не известно, так что перед нами чисто народное, «низовое» образование.

Если ваш предок носил фамилию Гавшиков, он почти наверняка был простым человеком — пахарем, ремесленником или солдатом, которого в округе звали по деду или отцу: «Гавшин сын», а потом и «Гавшиков». Другую, менее вероятную версию — происхождение от некалендарного прозвища Гавша (от глагола «гавкать» — лаять, браниться) — стоит отбросить: слишком распространено имя Гавриил, чтобы искать экзотические корни.