Фамилия Гавшинская — женская форма от Гавшинский или Гавшинской, и её разбор упирается в вопрос: что за основа «Гавш-»? В русских фамилиях на -ский/-цкой чаще всего скрывается географическое название: село или местечко, откуда родом первый носитель. Но «Гавш-» — редкий корень, и здесь возможны два пути.

Первый и самый вероятный — корень от древнерусского имени Гавша. Это уменьшительная форма от крестильного имени Гавриил (через Гавша или Гавшата, как Савва — Савша). В старых документах встречается и прозвище Гавша, и фамилия Гавшин, от которой по той же модели — «выходец из местности, где жили Гавшины» — могли образовать Гавшинский. Тогда Гавшинская — это «женщина из рода Гавшинских», а её предки носили фамилию по имени или прозвищу родоначальника.

Второй вариант — топонимический, но менее надёжный. На картах нет села Гавшино или Гавшинск, хотя не исключено, что мелкий хутор с таким названием существовал локально и не попал в реестры. В пользу этого говорит суффикс -ск-: в русской традиции фамилии на -ский давали дворянам или духовенству, часто по названию поместья или прихода. Однако фамилия Гавшинская не выглядит аристократической — скорее, она могла возникнуть в среде духовенства, где фамилии нередко придумывали искусственно, переделывая мирские прозвища в «благозвучные» на -ский.

И ещё одна деталь: ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог — Гавши́нская, как и у большинства фамилий на -инский. Встречается и вариант Гавшинска́я, но он менее характерен для русской ономастики — чаще так произносят в украинском или белорусском ареале. Если ваши предки родом с запада России или из Беларуси, это подсказка в пользу того, что фамилия могла возникнуть от названия деревни Гавшино, каких немало в тех краях.

Таким образом, самое правдоподобное объяснение: Гавшинская — фамилия, образованная от имени или прозвища Гавша (Гавриил) по модели «сын Гавши → Гавшин → владелец или житель Гавшина → Гавшинский». Точку в споре могла бы поставить запись в метрической книге, но без неё остаётся лишь строить гипотезы на основе словообразования.