Фамилия Гавшева — женская форма от Гавшев, а та в свою очередь образована от прозвища или неканонического имени Гавш. Основа здесь неочевидна на первый взгляд, и это как раз тот случай, когда за простым звучанием скрывается сразу несколько возможных корней.

Самая вероятная версия связывает Гавша с диалектным глаголом «гавкать» — лаять, браниться, ссориться. В русских говорах «гавша» могли прозвать крикливого, сварливого человека или того, кто много и громко говорит. Такие прозвища по характеру — один из самых распространённых источников фамилий: они давались метко и на всю жизнь. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Гавшев — сын Гавши.

Менее распространённая, но тоже возможная версия — происхождение от имени-оберега. В дохристианской традиции родители могли назвать ребёнка «плохим» словом, чтобы отвести от него злых духов. Гавш в этом смысле — «гавкающий», то есть нежеланный для нечистой силы. Такая практика была обычна в северных и центральных губерниях России.

Встречается и тюркский след. В татарском и башкирском языках слово «гавш» (гауыш) означает «голос», «звук», «шум». Фамилия могла возникнуть у крещёных татар или в среде смешанного населения Поволжья, где русские и тюркские элементы веками переплетались. Эта версия менее популярна, но географически обоснована: фамилия Гавшевы фиксируется в документах Казанской и Симбирской губерний XIX века.

По сословному составу Гавшевы — почти наверняка крестьянский или мещанский род. Дворянских ветвей с такой фамилией в гербовниках нет. Фамилия редкая: по данным переписей, основные очаги её бытования — Ульяновская область, Татарстан и Башкирия. Встречаются единичные носители в Сибири, куда фамилия попала с переселенцами в конце XIX века.

В написании важно не путать с Гавшиным: там суффикс -ин, что указывает на основу на -а мягкую (Гавша — Гавшин), но в фамилии Гавшев суффикс -ев, характерный для основ на твёрдый согласный или -й. Это говорит о том, что исходное прозвище звучало как Гавш, а не Гавша, хотя в быту формы могли смешиваться.