Фамилия Гавшинова — женская форма от Гавшинов, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. Основа здесь — Гавша, а это, скорее всего, не полное имя, а обиходная, разговорная форма одного из крестильных имён. Чаще всего в ономастике Гавшу выводят из имени Гавриил (в просторечии — Гаврила, Гавша). Усечение «-ил» до «-ша» — типичный для русской народной традиции приём: так из Михаила получался Миша, из Степана — Стёпа, а из Гавриила — Гавша.

Модель образования простая: к основе Гавш- добавили суффикс -ин, указывающий на принадлежность. В XV–XVII веках это значило «чей?» — «Гавшин сын», «Гавшина дочь». Со временем притяжательное прилагательное закрепилось как фамилия. Суффикс -ов тут невозможен, потому что основа оканчивается на шипящий, но по правилам русской грамматики после шипящих и ц под ударением пишется -ов, а без ударения — -ев. В случае с Гавшиным суффикс -ин стоит закономерно: он присоединяется к основам на -а, -я.

Есть, впрочем, и менее очевидная версия. В псковских и новгородских говорах «гавша» могло быть прозвищем от глагола «гавкать» — лаять, браниться, грубить. Человека с резким, сварливым характером могли прозвать Гавшей. Тогда фамилия оказывается не от имени, а от уличного прозвища, что тоже обычно для русского быта. Но вероятность выше у первой гипотезы: прозвища на -ша от имён встречаются гораздо чаще, чем от глаголов.

Географически фамилия Гавшинов (и Гавшинова) тяготеет к северным и центральным областям России — Вологодской, Архангельской, Костромской, а также к Поволжью. Встречается она нечасто, но не является исчезающе редкой. Сословно носители могли быть и крестьянами, и мещанами, и священниками — фамилия не даёт однозначной привязки к определённому социальному слою, что говорит о её широком бытовании.

Если сравнивать с однокоренными, то Гавшинов стоит в одном ряду с Гавриловым, Гавриным, Гаврюшиным, Гавшевым. Разница в суффиксах отражает разные этапы и способы образования: -ов от полного имени, -ин от краткой формы, -ев от основы на мягкий согласный. Гавшинов — одна из самых компактных и фонетически простых форм в этом гнезде.