Фамилия Гайдемский — один из тех случаев, когда форма на -ский не указывает на дворянское происхождение, а почти наверняка связана с географическим названием. Такие фамилии в XVI–XIX веках массово получали выходцы из духовенства (семинаристы) и переселенцы, которым давали прозвище по месту прежнего жительства. Основа фамилии — топоним Гайдемы или Гайдем. Скорее всего, это название небольшого села, хутора или урочища на западе современной Украины или в Беларуси. Корень «гайд» восходит к украинскому или польскому «gaj» — роща, лесок, дубрава. Соответственно, Гайдемы — это «рощица» или место, где когда-то стоял лес. В польском языке слово «gaj» имеет то же значение, а суффикс -ем- мог указывать на уменьшительную или местную форму.

Словообразовательная модель проста: к названию поселения Гайдемы добавили типичный для фамилий шляхты и духовенства суффикс -ский (в польском варианте -ski). Владелец такой фамилии — «тот, кто из Гайдем». Поскольку фамилии на -ский в Российской империи часто давали в духовных училищах и семинариях, можно предположить, что первый носитель фамилии либо был сыном священника из села Гайдемы, либо сам учился и получил фамилию по месту рождения. В пользу этого говорит и то, что фамилия редкая и не встречается в массовых списках крестьянских фамилий центральной России — её ареал, скорее всего, ограничен Волынской, Подольской или Гродненской губерниями, а также Польшей.

Встречается вариант написания Гайдемский, а также польская форма Gajdemski. Родственные фамилии — Гайдамак, Гайденко, Гайдовский — образованы от того же корня, но с разными суффиксами. Если у вас фамилия Гайдемский, предки почти наверняка жили в лесной или лесостепной зоне Западной Украины или Восточной Польши, а сама фамилия — не прозвище по профессии или внешности, а метка «откуда родом».