Фамилия Гайгук — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы разобраться, нужно отбросить привычную славянскую модель с суффиксами -ов/-ев и присмотреться к основе. Скорее всего, перед нами фамилия украинского или южнорусского корня, образованная без типичного родового суффикса — так называемая «усечённая» форма прозвища.

Основа «Гайг-» не имеет очевидных славянских параллелей. Самая вероятная версия связывает её с тюркским или крымскотатарским словом «гайгук» (или близким «кайгук») — «горесть», «печаль», «забота». В таком случае прозвище Гайгук мог получить человек с мрачным, задумчивым нравом или тот, кто жил в постоянной нужде. В тюркских языках слово «гайгы» (кайгы) распространено и входит в состав многих имён и прозвищ, например, Гайгысыз — «беззаботный». Фамилия могла закрепиться в среде запорожских казаков или крестьян южных губерний, где контакт с тюркским населением был обычным делом.

Менее убедительная, но возможная версия — связь с диалектным украинским глаголом «гайгати» (кричать, шуметь). Тогда прозвище дали бы голосистому, крикливому человеку. Однако фонетически «Гайгук» от «гайгати» образуется с натяжкой, и эта гипотеза уступает тюркской.

Географически фамилия Гайгук встречается в основном на Украине, особенно в западных и центральных областях, а также среди потомков украинских переселенцев на Кубани и в Сибири. В русских переписных книгах XVII–XVIII веков она не прослеживается, что косвенно подтверждает её позднее оформление и локальный характер. Сословно — это почти наверняка крестьянская или казачья фамилия: дворянские роды с таким окончанием (без -ский) в России крайне редки.

Обратите внимание на окончание. Отсутствие суффикса -ов/-ин указывает, что фамилия застыла в форме прямого прозвища: «Гайгук» — это и есть исходное слово, а не «Гайгуков» (чей-то сын). Такие «голые» фамилии характерны для украинской ономастики (сравните: Гайдук, Бондарь, Коваль). Поэтому искать «правильное» русское написание вроде «Гайгуков» не стоит — первоначальная форма именно так и звучала.