Фамилия Гайчук — характерный пример украинской модели образования фамилий с помощью патронимического суффикса -чук. Этот суффикс в украинской ономастике означает «сын» или «потомок» (подобно русским -ов/-ев или -ин). Таким образом, Гайчук — это «сын Гая», а сам Гай — прозвище, от которого и пошла фамилия.

Что означало прозвище Гай? Самое прямое объяснение — от украинского слова «гай», то есть роща, небольшой лес. В этом случае прозвище указывало на место жительства: предок Гайчука жил у леса или в лесной местности. Такие «топографические» прозвища были очень распространены: они заменяли человеку адрес в эпоху, когда официальной прописки не существовало.

Есть и другая, менее очевидная версия. В украинском языке слово «гай» употреблялось и в значении «охота на кабанов с загонщиками или собаками» (так называемая облава). Если исходить из этого значения, то прозвище Гай мог получить не житель леса, а охотник, специализировавшийся на таком промысле. Вторая версия менее распространена, но имеет право на существование: фамилии, образованные от названий занятий, встречаются не реже, чем от мест жительства.

Фамилия Гайчук бытует преимущественно в западных и центральных областях Украины, что объясняется как ареалом распространения суффикса -чук (он особенно типичен для Подолья, Волыни, Галиции), так и диалектным словом «гай» в значении «лес». На востоке Украины для обозначения леса чаще использовали слово «ліс», поэтому там фамилия встречается реже.

С точки зрения словообразования важно, что суффикс -чук закрепился за фамилией, а не отчество — то есть «Гайчук» стало наследственным именем рода. Со временем прозвище Гай, от которого всё пошло, полностью вытеснило первоначальное крестильное имя предка в быту и документах. Так за потомками и закрепилась фамилия, указывающая либо на их «лесные» корни, либо на охотничью профессию родоначальника.