Фамилия Гайенко — украинская по модели образования, что сразу видно по суффиксу -енко. В украинской ономастике этот суффикс — один из самых распространённых «фамильных маркеров»; он указывает на происхождение от отца или главы семьи, то есть буквально означает «сын такого-то» или «маленький, младший». Если разобрать фамилию на части, основа — Гай — может отсылать к двум разным вещам.

Самое вероятное объяснение: прозвище Гай давали человеку, который жил у рощи, в лесу или возле небольшого лесного массива. В южных и западных говорах «гай» — это именно лиственный лес, роща, часто с ореховыми деревьями или дубами. Соответственно, Гайенко — «сын Гая», то есть потомок человека, получившего прозвище по месту жительства. Таких фамилий много: Гаев, Гаевич, Гаенко — и все они родственны по корню.

Есть и вторая, менее очевидная версия: основа могла произойти от крестильного имени Гай (от латинского Gaius — «радостный» или «господин»). В святцах это имя встречается редко, но в форме Гай, Гаий, Гаян. В украинской среде такие редкие церковные имена иногда переходили в прозвища, а затем в фамилии. Однако учитывая, что фамилия распространена в основном на территории Украины (особенно в Полтавской, Черкасской, Киевской областях), версия с географическим прозвищем выглядит убедительнее.

Словообразовательно фамилия проста: корень Гай- плюс типичный украинский патронимический суффикс -енко. Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Гайе́нко, хотя в разговорной речи встречаются варианты Га́енко (с утратой йота). В русском языке фамилия могла «обрусеть» и писаться как Гаенко, но исходная форма с «й» сохраняет украинское произношение.

Известных носителей с этой фамилией мало, в открытых источниках она не связана с дворянскими родами или историческими фигурами. Это типичная крестьянская или казацкая фамилия, которая возникла в XVII–XVIII веках, когда на Украине массово оформлялись фамилии по модели «прозвище + -енко». Если ваши предки носили фамилию Гайенко, скорее всего, они были выходцами из сельской местности, где лесные угодья играли заметную роль в хозяйстве — либо жили рядом с рощей, либо сами занимались лесным промыслом.