Фамилия Гайева — женская форма мужской фамилии Гайев. Её основа восходит к тюркскому слову «гай» или «кай», которое в разных тюркских языках означает «крепкий», «сильный», «могучий» (ср. казахское «қайрат» — сила, энергия). В ономастике такой корень часто становился личным именем-пожеланием: родители называли сына Гай (или Кай), желая ему здоровья и стойкости. Соответственно, Гайев — это «сын Гая», а Гайева — его дочь или жена.

Суффикс -ев указывает на русскую модель образования фамилий от иноязычных основ. В отличие от фамилий на -ин, которые образуются от основ на -а/-я, суффикс -ев/-ов присоединяется к основам, оканчивающимся на согласный или -й. Здесь основа «Гай» дала форму Гай-ев. Это типично для фамилий, возникших в среде, где тюркские имена адаптировались через русскую грамматику — например, у крещёных татар, башкир, ногайцев или в казачьих областях.

Географически фамилия Гайев (и Гайева) встречается в Поволжье, на Северном Кавказе и в Западной Сибири. Много носителей среди осетин и кумыков, что неудивительно: в осетинском языке слово «гай» означает «сила», «мощь», а у кумыков «кай» — «крепкий, твёрдый». Встречается фамилия и у русских, но почти всегда с указанием на тюркские или кавказские корни в родословной.

Менее вероятная версия связывает фамилию с украинским или белорусским диалектным словом «гай» — лес, роща. В таком случае Гайев могло быть прозвищем человека, жившего у леса, и образовалось бы оно по той же модели. Однако эта гипотеза слабее: фамилии от «гай» в значении «лес» обычно оформляются через суффикс -ский (Гайский) или -ин (Гаин), а -ев здесь встречается редко. К тому же тюркская версия объясняет и распространение фамилии в регионах, где лесов мало, а тюркские имена — норма.

Итак, предок носительницы фамилии Гайева, скорее всего, был человеком по имени Гай — сильным или почитаемым, а сама фамилия закрепилась в XIX веке, когда у народов Российской империи массово фиксировали фамилии по отцу.