Фамилия Гайчукова — женская форма фамилии Гайчуков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Гайчук. Разберём, что стоит за этим словом.

Основная версия связывает фамилию с тюркским корнем «гай» (или «кай»), который в разных языках означает «скала», «берег», «крутой обрыв». В южнорусских и украинских говорах, особенно в казачьей среде, слово «гай» издавна означало «лес», «роща». Таким образом, Гайчуком могли прозвать человека, жившего у леса, обрыва или речного берега. Суффикс «-чук» в этой модели указывает на принадлежность или уменьшительность, то есть Гайчук — это «сын Гая» или «маленький лес».

Вторая, менее распространённая версия, отталкивается от имени собственного. В некоторых тюркских языках «Гай» — это краткая форма личных имён (например, Гайнулла). В этом случае фамилия означает «потомок Гая». Однако для русской фамилии такая основа встречается редко, и первая версия выглядит убедительнее.

Географически фамилия Гайчуков наиболее характерна для юга России и Украины, где исторически были сильны тюркские влияния и где слово «гай» в значении «лес» было обиходным. В XIX веке носители фамилии встречались в Курской, Воронежской губерниях, а также среди донских и кубанских казаков. Это указывает на то, что предки, скорее всего, были вольными земледельцами или казаками, а не крепостными — фамилия закрепилась в среде, где прозвища переходили в родовые имена естественным путём.

Словообразовательная модель проста: к основе «Гайчук» добавили типичный русский суффикс принадлежности «-ов», что дало фамилию Гайчуков. Женская форма Гайчукова — стандартное русское окончание. Фамилия недвусмысленно говорит о том, что первый носитель прозвища был связан с лесом или берегом, и это прозвище закрепилось за его потомками.