Фамилия Гайош не входит в число распространённых русских фамилий, и её происхождение почти наверняка связано с языками неславянской группы. Самая вероятная версия — венгерские корни. В венгерском языке слово «gajos» (или «gajosz») может означать «шумный», «крикливый», «беспокойный» — такое прозвище могли дать человеку с громким голосом или бойким нравом. В пользу этой гипотезы говорит и типично венгерский суффикс -ош (-os/-ös), который образует прилагательные и существительные, часто переходящие в фамилии (ср. Вереш, Надь, Ковач — у них схожая модель).

Менее вероятно, но возможно, что Гайош — это русифицированная форма фамилии Гайос, где конечное -с перешло в -ш под влиянием южнославянских или румынских говоров. В таком случае основа могла восходить к румынскому «gai» — «сойка» (птица), то есть прозвище могло указывать на пёструю одежду или крикливый голос, что по смыслу близко к венгерской версии.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия не содержит типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), что сразу говорит о её иноязычном происхождении. В России носители фамилии Гайош встречаются редко, преимущественно в западных регионах и на Северном Кавказе, куда венгерские и румынские фамилии могли попасть через переселенцев или смешанные браки.

Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из среды, где бытовали венгерские или молдавские говоры, и получил прозвище по характеру — шумный, бойкий, неугомонный человек. В социальном плане это мог быть крестьянин или ремесленник, поскольку фамилии такого типа обычно давали простым людям, а не дворянству.