Фамилия Гайшутис — почти наверняка литовского происхождения, о чём говорит характерный суффикс -ис. В литовской антропонимике окончание -ис (наряду с -ас, -ус) — стандартный патронимический или посессивный показатель, указывающий на принадлежность: «сын такого-то» или «происходящий от такого-то». Полная мужская форма — Гайшутис, женские варианты будут звучать как Гайшутене (замужняя) или Гайшутите (девичья). Если убрать суффикс, остаётся основа Гайшут-.

Основа, скорее всего, восходит к литовскому личному имени или прозвищу Гайшюс (Gaišius). Это имя, в свою очередь, связано с глаголом gaišti — «медлить, мешкать, задерживаться» или с gaišė — «лентяй, копуша». Таким образом, первый носитель фамилии мог получить прозвище за медлительность, неторопливость или, наоборот, за привычку опаздывать. В литовской ономастике такие прозвища по характеру или поведению — обычное дело, фамилии от них не несут негативного оттенка, а просто фиксируют бытовую черту.

Географически фамилия привязана к исторической Литве и приграничным районам Беларуси, где литовский антропонимический слой силён. Суффикс -утис (уменьшительно-ласкательная форма в литовском) указывает, что имя Гайшюс могло быть домашним, а фамилия образована от уменьшительной формы. В русском контексте фамилия Гайшутис остаётся редкой — она не адаптировалась под русские суффиксы (-ов, -ин), а сохранила исконное литовское окончание, что говорит о позднем переходе носителей в русскоязычную среду или о сохранении национальной идентичности.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта фамилия не рассматривается, так как находится за пределами собственно русского ономастикона. Однако в литовских антропонимических справочниках модель образования на -utis хорошо описана. Есть и вероятность, что основа — не от глагола «медлить», а от другого литовского корня, например, от gaïšas — «сварливый человек». Но обе версии сходятся в одном: фамилия описывает характер или поведение предка, а не его ремесло или место жительства.