Фамилия Гайвасенко — характерный пример украинской модели образования фамилий с суффиксом -енко. Этот суффикс в XVI–XVIII веках был самым распространённым способом создать «маленького» или «младшего» по отношению к отцу: Гайвасенко буквально означает «сын Гайваса» (или «потомок Гайваса»). Сама основа Гайвас — прозвище или личное имя, которое, скорее всего, имеет тюркское происхождение.

В тюркских языках слово qaywas или gayvas могло означать «упрямый», «своенравный», «несговорчивый» — такое прозвище давали человеку с крутым нравом. Встречается также версия, что Гайвас — это вариант имени Гайваз (от арабского гази — «воин», «победитель»), но для украинской среды более правдоподобна первая, прозвищная трактовка. Тюркские заимствования в украинских фамилиях — обычное дело для южных и восточных регионов, где веками жили татары, ногайцы и другие кочевые народы.

Географически фамилия Гайвасенко привязана к центральной и восточной Украине, особенно к Полтавщине и Слобожанщине. В XIX веке носители фамилии встречались в Харьковской, Екатеринославской и Полтавской губерниях. Это были в основном казацкого или крестьянского сословия — люди, чьи предки входили в реестровое казачество или несли сторожевую службу на южных границах.

Редкость фамилии объясняется необычной основой: Гайвас не превратился в распространённое христианское имя, а остался локальным прозвищем. Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Гайваз, Гайвазовский, Гайвасюк — то Гайвасенко стоит особняком из-за типичного украинского суффикса, который указывает на патронимическое происхождение. В русских переписях фамилию могли записывать на слух: Гайвасенков, Гойвасенко, иногда путали с Гайворонским (от «гайворон» — грач), но это разные корни.

Словообразовательная модель проста: корень Гайвас- + суффикс -енко. Ударение, скорее всего, падает на предпоследний слог — Гайва́сенко, хотя в бытовой речи встречается и вариант с ударением на первый слог. Фамилия не имеет отношения к «гавани» или «гаю» — это чисто тюркский след в украинской ономастике, сохранившийся в виде прозвища, которое закрепилось за родом.