Фамилия Гайвук — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с птицей, но не с той, что приходит на ум первой. Корень здесь — не «гайка» (орех), а «гайворон» или «гайворонок». В украинских и южнорусских говорах «гайворон» — это грач, а «гайворонок» — полевой жаворонок. Сама фамилия Гайвук — это, скорее всего, стяжённая форма от «Гайворонок»: звуки «р» и «н» выпали, осталось «гайв-» плюс уменьшительный суффикс «-ук», характерный для западных и южных регионов. То есть Гайвук буквально — «маленький грач» или «жаворонок».

Суффикс «-ук» здесь ключевой. В украинской ономастике он типичен для фамилий, образованных от прозвищ или имён без дополнительного патронимического суффикса (как русские «-ов» или «-ин»). Такая модель распространена на Волыни, Подолье, в Галиции. Если ваш предок был Гайвук, он, скорее всего, происходил из западноукраинских земель или из приграничных областей Беларуси. Прозвище «Гайворон» или «Гайворонок» могли дать человеку за внешность (чёрные волосы, худощавость, резкие движения), за голос (звонкий, высокий) или за привычку носить тёмную одежду.

В отличие от русских фамилий на «-ов», которые часто фиксируют принадлежность к отцу (Иван — Иванов), Гайвук — это прямое прозвище, закрепившееся за родом. Встречаются варианты написания: Гайворук, Гайворон, Гайворонюк, но Гайвук — самая компактная форма. В дореволюционных метриках фамилия могла записываться через «о» — Гойвук, что отражает местное аканье или особенности диалекта.

Сословно предки Гайвук, скорее всего, были крестьянами или казаками. Фамилия не дворянская и не купеческая — такие прозвища возникали в среде, где человека называли по характерной примете, а не по роду занятий. Никаких известных исторических личностей с этой фамилией не зафиксировано, что только подтверждает её народное, локальное происхождение. Сегодня Гайвук встречается нечасто, в основном на Западной Украине и в диаспоре.