Фамилия Гэина — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает со звучанием, но при этом скрывает неочевидную основу. В ней нет типичных русских фамильных суффиксов вроде -ов или -ин, которые указывают на принадлежность («чей?»). Форма Гэина — это женский вариант фамилии Гэин, образованный по модели, где окончание -а просто указывает на носительницу женского пола. Сама же основа Гэин, скорее всего, возникла от прозвища или имени, записанного на слух.

Самый вероятный источник — диалектное или просторечное слово «гэ» или «гей». В южнорусских и украинских говорах «гэкать» означало говорить с придыхательным «г» (фрикативным), а человека с такой манерой речи могли прозвать Гэем или Гэем. Фамилия Гэин тогда — «сын Гэя» или «человек из рода Гэя». Похожая модель встречается в фамилиях Деин (от «дей» — дядя) или Шеин (от «шей» — шея). Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит тюркское имя Гей (Гай) — «крепкий, могучий», которое через прозвище могло закрепиться в русской среде.

Написание с буквой «э» — отдельная загадка. В старой русской орфографии до реформы 1918 года «ѣ» (ять) часто передавалась на слух как «е» или «э», но в фамилии Гэина мы видим сознательное использование «э» после согласной, что нетипично для исконно русских слов. Это может указывать на позднюю фиксацию фамилии в документах, когда писари записывали прозвище так, как слышали, не подгоняя под правила. Либо фамилия имеет иноязычные корни, например, из прибалтийских или финно-угорских языков, где «гэ» — частый звук.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По данным открытых источников, Гэины фиксируются в основном в центральных и южных регионах России, а также на Украине. Сословная принадлежность предков неясна — фамилия могла возникнуть как у крестьян (прозвище по говору), так и у мещан или казаков. Единственная зацепка — географическая привязка к местам, где было распространено «гэканье» (Белгородчина, Воронежье, Кубань). Если ваши предки оттуда, то версия с диалектным прозвищем становится почти доказанной.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Геев, Геин, Гайков) показывает, что все они редки и разбросаны. Это говорит о том, что Гэина не образовалась от крестильного имени (как Иванов), а возникла локально, в одной-двух деревнях, как прозвище конкретного человека. Так что, скорее всего, ваш предок был заметным человеком в своей общине — либо из-за необычного говора, либо из-за характера, который закрепился в коротком, но метком прозвище Гэй.