Фамилия Геморойки — редкий случай, когда основа слова вызывает у носителей языка стойкую и неверную ассоциацию. Сразу скажем: к болезни, известной в медицине, она прямого отношения не имеет. В русском языке слово «геморрой» — книжное, пришло из греческого через латынь и закрепилось в медицинской терминологии не раньше XVIII–XIX веков. Крестьянские и мещанские фамилии, которые складывались в XV–XVII веках, такую основу дать не могли.

Разберём словообразовательную модель. Фамилия оканчивается на -к(а) и стоит в форме именительного падежа единственного числа. В русской ономастике это типичный «якающий» вариант фамилий на -ко, характерный для украинской и южнорусской традиции: Геморойко → Геморойка. Суффикс -к(а) в фамилиях обычно указывает на уменьшительно-ласкательную или прозвищную форму. Значит, в основе лежит прозвище Геморой.

Наиболее правдоподобная версия: прозвище Геморой образовано от диалектного или просторечного глагола «гемороить» — мучить, надоедать, капризничать. В южнорусских и украинских говорах слово «геморой» могло означать «капризный человек» или «привереда». Этимологически это, скорее всего, искажённое «гоморой» или «гомоний» — от «гомон» (шум, крик). То есть прозвище дали человеку с беспокойным, ворчливым или требовательным характером. Фамилия Геморойки — буквально «те, кто от Гемороя»: дети, потомки или люди из семьи человека с таким прозвищем.

Встречается фамилия в основном на территории современной Украины и в пограничных областях России (Белгородская, Курская, Воронежская). В дореволюционных метрических книгах можно найти написание «Геморойко» — без смягчения на конце, что подтверждает украинский тип образования. Вариант «Геморойкин» (с суффиксом -ин) встречается реже и тоже возможен, но форма Геморойки закрепилась именно как характерная для юго-западного ареала.

Таким образом, носитель фамилии Геморойки — потомок человека, которого в округе прозвали за характер Гемороем. Никакой медицинской подоплёки здесь нет, только живая народная речь, зафиксировавшая не самую лестную, но точную характеристику предка.