Фамилия Гейчук — один из тех случаев, когда за привычной славянской моделью стоит неочевидная основа. Суффикс -ук (в белорусской и украинской традиции — -чук) указывает на происхождение от человека: сын или потомок того, кто назван корнем. То есть Гейчук — это «сын Гея» или «человек из рода Гея». Но кто такой Гей? Имя Гей (или Гейко) — это не русское и не украинское слово, а уменьшительная форма от крестильного имени Гай. В православных святцах имя Гай встречается редко, но оно есть: так звали одного из апостолов от семидесяти. В народной речи имя Гай легко превращалось в Гей (через аканье или диалектное произношение), а от него уже пошли фамилии Гейко, Гейчук, Гейченко.

Вторая, более прозаичная версия связывает фамилию с прозвищем. В южнорусских и украинских говорах «гей» — междометие, окрик, которым погоняли лошадей или подзывали кого-то. Прозвище Гей могли дать крикливому человеку, пастуху или вознице. Однако эта гипотеза слабее: в ономастике гораздо чаще фамилии образуются от личных имён, чем от междометий, тем более что имя Гай (Гей) документально зафиксировано.

Географически фамилия Гейчук тяготеет к западу Украины и югу Беларуси — регионам, где суффикс -чук наиболее распространён. В России она встречается реже, в основном среди переселенцев из этих областей. Встречаются варианты написания Гайчук (с буквой «а» в корне) — это более старая или диалектная форма, поскольку имя Гай в церковной традиции произносилось именно через «а». Вариант с «е» мог возникнуть под влиянием местного говора или при записи фамилии писцом на слух.

Социальный состав носителей фамилии типичен для украинско-белорусского пограничья: это были преимущественно крестьяне и мещане. Дворянских родов с такой фамилией в исторических документах не обнаружено. Если искать однокоренные фамилии, то ближайшие — Гейко, Гайчук, Гайченко, а также редкая Гейченко. Все они образованы по одной модели: от имени Гай/Гей с помощью разных патронимических суффиксов.