Фамилия Гежа — одна из тех, где короткое звучание скрывает несколько возможных путей происхождения. Самая вероятная версия ведет к польскому слову gęś (гусь). В старопольском языке это слово звучало как gęs, и от него могли образовать прозвище Гежа — для человека, который разводил гусей, пас их или чем-то напоминал эту птицу (например, важной походкой или длинной шеей). Такие прозвища по птицам были распространены в славянских языках, и фамилия Гежа вписывается в этот ряд.

Вторая версия, тоже польская, отводит к слову giez — «овод». Прозвище могли дать назойливому, беспокойному человеку или тому, кто работал со скотом и постоянно страдал от этих насекомых. Обе польские гипотезы выглядят убедительнее остальных, так как фамилия Гежа чаще всего встречается в западных регионах бывшей Речи Посполитой — на границе современных Польши, Беларуси и Украины.

Менее вероятна, но любопытна литовская версия: от глагола giežti — «щекотать, першить в горле». В этом случае прозвище могло закрепиться за человеком с хриплым голосом или привычкой покашливать. Однако для фамилии, образованной от глагольной основы, необычен суффикс -а, типичный скорее для прозвищ от существительных.

Венгерское предположение — от gesztenye (каштан) — выглядит натянутым. Фонетически слова далеки, а суффикс -а нехарактерен для венгерских фамилий, которые обычно оканчиваются на -и, -ш или согласный. Эту версию можно отбросить как слабую.

Суффикс -а в фамилии Гежа — не патронимический (как -ов или -ин), а прозвищный. Такие фамилии часто закреплялись в белорусской и украинской традиции, где прозвище без изменений становилось родовым именем. Географически фамилия тяготеет к ареалу польско-белорусского пограничья, что подтверждает первую, «гусиную» версию. Однокоренных фамилий в русском языке почти нет, зато в польском есть Генсёр, Генсяк, что добавляет веса польской этимологии.

Если ваш предок носил фамилию Гежа, скорее всего, он жил на западных землях и получил прозвище либо от птицы, либо от насекомого — по роду занятий или характеру. Более точный ответ дал бы анализ старых метрических записей из Гродненской или Виленской губерний.