Фамилия Грежа — редкий пример, где основа и суффикс слились воедино, а географический след почти наверняка ведет в Беларусь или западную Украину. В русском языке слово «грежа» не существует, зато в белорусском и украинском «грэ́жа» или «гріжа» — это «греза», «мечта», «видение». Такое прозвище мог получить человек мечтательный, задумчивый, склонный к фантазиям, а может быть, тот, кого считали «не от мира сего».

Но есть и вторая, не менее вероятная версия. Фамилия могла образоваться от прозвища Грежа, которое в некоторых западных говорах давали ворчуну, брюзге или тому, кто постоянно «грэбэ» — ворчит, выражает недовольство. В этом случае основа не «греза», а «грэба» с переходом «б» в «ж» (как в слове «дружба»). Обе версии имеют право на жизнь, и без точной записи из метрической книги XVII–XVIII веков решить, какая из них верна, невозможно.

Фамилия оформлена по модели, типичной для украинских и белорусских фамилий на -а, -я: Грежа, Грыжа, Гроза. Суффикса как такового здесь нет — это «нулевая» суффиксация, когда прозвище целиком стало фамилией без дополнительных окончаний (-ов, -ин, -ский). Такая модель нередко встречается на Правобережной Украине, в Галиции и на юге Беларуси.

Сравните с однокоренными фамилиями: Грежов, Грежевский, Грежин — они уже сформированы по русской или польской модели, а вот Грежа осталась в своей первоначальной, «сырой» форме. Это говорит о том, что предки носителя фамилии, скорее всего, не были дворянами или духовенством, а принадлежали к крестьянскому или мещанскому сословию — именно у них такие «бессуффиксные» фамилии встречались чаще всего.

Самый простой и надежный способ узнать свою историю — найти запись о рождении или браке в метрических книгах XIX века по Витебской, Минской или Волынской губерниям. Если фамилия встречается в этих регионах, версия с белорусским «грэжа» (мечта) становится основной. Если же первые носители обнаружатся, скажем, в Полтавской губернии, стоит присмотреться к варианту с «ворчуном».