Фамилия Гогшков — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает происхождение. Первое, что бросается в глаза: в русском языке нет исконного корня «гогш-». Это значит, что перед нами либо результат искажения исходной формы при переписях, либо фамилия, возникшая в среде, где смешивались языки. Наиболее вероятная версия — Гогшков восходит к фамилии Гоголев или Гоголь. Суффикс -шк- в русских фамилиях часто появлялся при пренебрежительном или уменьшительном именовании: вместо «Гоголь» могли сказать «Гоголька», а от этой формы — «Гогольков». В устной речи «Гогольков» легко превращалось в «Гогшков»: звук «ль» редуцировался, а «к» перед суффиксом переходил в «ш». Такую замену (чередование к/ч/ш) филологи называют типичной для восточнославянской народной этимологии.

Если принять эту гипотезу, основа фамилии — прозвище Гоголь. В старину гоголем называли птицу (нырок), а также человека с важной, подпрыгивающей походкой или щеголя. Фамилии на -ков (-шков) указывают на принадлежность: «чей?» — Гогольков, то есть сын или потомок Гоголя. Встречается и более экзотическая версия: связь с тюркским словом «гогча» (голубоватый) или с диалектным «гог» (шум, гам), но она слабая — фамилия явно славянская по словообразованию.

География фамилии узкая. Гогшковы — редкость, их можно встретить в основном в центральных областях России, где бытовали и Гоголевы, и Гогольковы. Сословно это, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия: прозвищные фамилии на -ков редко поднимались выше купечества. Дворянские роды с таким окончанием почти не встречаются.

Стоит учесть и возможность описки. В документах XVII–XIX веков писцы могли записать «Гогшков» вместо «Гогольков» или «Гогушков» (от уменьшительного Гогушка). Так что для точного поиска стоит проверить варианты с «л» и «у» в середине. Фамилия не имеет отношения к немецкому или еврейскому корням — это чистый пример того, как живая речь перекроила письменную форму.