Фамилия Гычун — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её носителей в России единицы, искать однокоренные фамилии в привычных славянских списках бесполезно: ни Гыч, ни Гыча нет в распространённых прозвищах. Сама фамилия заканчивается на -ун, что указывает на модель образования от прозвища или глагола через суффикс, характерный для украинских, белорусских и южнорусских фамилий (ср. Крикун, Скакун, Мовчун). Значит, корень «гыч-» — основа прозвища.

Что могло лежать в основе? Первая и самая вероятная версия — звукоподражательная. В русских говорах «гыкать» означает издавать отрывистый, гортанный звук, похожий на «гы». Прозвище Гычун могли дать человеку с характерной манерой говорить, кричать или даже икать. Вторая версия — связь с диалектным словом «гыча» или «гыч», которое в некоторых областях означало что-то неопрятное, грязное или несуразное. В этом случае прозвище носило бытовой, оценочный характер — так могли назвать неряшливого или неловкого человека. Третья, менее вероятная, — тюркское влияние: в тюркских языках есть корни со значением «гнать», «преследовать», но для фамилии на русской почте это скорее случайное созвучие, чем основа.

Фамилия недворянская, не священническая. Скорее всего, она возникла в крестьянской или казачьей среде на юге России, в Белоруссии или на Украине, где суффикс -ун особенно продуктивен. Приставка «Гыч-» могла исказиться при записи: в документах XIX века писарь мог записать прозвище на слух, так что первоначальное «Гыкун» или «Гычунь» со временем закрепилось в современном виде. Точной географии фамилии нет — она слишком редка, чтобы строить карту расселения.

Итог: фамилия Гычун — это прозвище по характерному звуку или поведению, оформленное типичным для восточнославянских языков суффиксом. Предок носителя, скорее всего, был человеком с громким голосом или необычной манерой речи, а фамилию ему дали соседи, а не канцелярия.