Фамилия Гыргешкинов — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Первое, что бросается в глаза, — необычный корень «гыргешк-» и фамильный суффикс «-ов», типичный для русских фамилий, образованных от прозвищ или имен. Однако сама основа явно не русского происхождения. Наиболее вероятно, что фамилия восходит к тюркским или кавказским языкам, где корень «гыр» или «гырг» может означать «сокол», «ястреб» или «хищная птица» (ср. карачаево-балкарское «гыргъа» — ястреб, или кумыкское «гъыргъа» — коршун). Суффикс «-ешк-» мог быть уменьшительно-ласкательным или пренебрежительным, как в тюркских прозвищах. Таким образом, прозвище Гыргешк могло означать «соколёнок», «ястребок» или, напротив, «коршун» — птица, которая у многих народов ассоциировалась с зоркостью, хищностью или свободой.

Второй, менее вероятный вариант — связь с географическим названием. В горных районах Кавказа и Закавказья встречаются топонимы с корнем «гырг» (например, река Гыргыр или урочище Гыргеш). Тогда основа фамилии — указание на выходца из такого места, а суффикс «-ин» был бы более ожидаем для русского уха, но здесь мы видим «-ов», что говорит о том, что носители фамилии, скорее всего, уже давно обрусели и адаптировали прозвище по русской модели.

Сама фамилия Гыргешкинов — поздняя по времени возникновения, вероятно, не ранее XVIII–XIX веков. Она могла появиться в среде казачества или крестьян южных губерний России, куда переселялись народы с Северного Кавказа. Интересно, что в фамилии сохранился редкий для русского языка звуковой комплекс «гырг», который обычно смягчается или заменяется на «кирг» (как в фамилии Киргизкинов). Это указывает на то, что предки носителя фамилии долго сохраняли исходное произношение прозвища, не подстраивая его под привычные русские фонетические нормы.

С точки зрения словообразования, фамилия прошла два этапа: сначала от прозвища Гыргешк с помощью суффикса «-ин» (или сразу «-ов») образовалась фамилия Гыргешкин, а затем, вероятно, при переписи или по аналогии с другими фамилиями, добавился второй суффикс «-ов», что дало современную форму Гыргешкинов. Такие «двойные» суффиксы встречаются в русских фамилиях, когда хотели подчеркнуть принадлежность к роду (ср. Репнин → Репнинов). В любом случае, фамилия крайне редкая, и её носители, скорее всего, происходят из одного небольшого рода, возможно, из станиц или сёл Ставрополья или Кубани.