Фамилия Иврий звучит необычно для русского уха — в ней нет типичных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский. Сразу бросается в глаза, что это прилагательное в краткой форме мужского рода, а значит, перед нами фамилия, образованная по модели, характерной для украинской и белорусской ономастики. Сравните: Добрый, Весёлый, Хмурый. В русской традиции такие фамилии редки, но встречаются, особенно среди выходцев из юго-западных земель.

Основа «ивр-» отсылает к слову «иврит» — языку древних евреев. Вряд ли предок носителя фамилии был лингвистом. Скорее всего, Иврий — это прозвище, которое давали человеку, знающему древнееврейский язык или имеющему отношение к иудейской культуре. В среде православных семинаристов, где изучали древние языки, такое прозвище могло закрепиться за особенно прилежным учеником. В еврейской же среде фамилия могла возникнуть как указание на религиозную принадлежность или происхождение — «иври» на иврите и означает «еврей».

Есть и другая версия, менее вероятная, но любопытная. В некоторых говорах «иврий» могло быть искажением слова «ивовый» — от дерева ивы. Но для этого фамилия должна была бы звучать как «Ивов» или «Ивин». Поскольку корень «ивр» чётко выделяется, версия с ивритом выглядит убедительнее.

Географически фамилия Иврий встречается в основном на Украине и в южных областях России, что подтверждает её украинскую словообразовательную модель. Сословной привязки нет: прозвище могли дать и крестьянину, и священнику, и мещанину. Сейчас фамилия редкая, и её носители, скорее всего, потомки тех, кто когда-то выделялся знанием древнего языка или особым отношением к вере.